Фамилия Сапрыикн, скорее всего, результат искажения при переписи или ошибки в документе. В русском языке нет суффикса «-ыикн», а стандартная модель образования русских фамилий — это суффиксы -ов, -ев, -ин. Наиболее вероятно, что исходная форма — Сапрыкин.

Если это так, то основа — прозвище или нецерковное имя Сапрыка. В русских говорах слово «сапрыка» имеет два значения. Первое — «задира, егоза, непоседа», то есть человек с беспокойным или сварливым нравом. Второе, более редкое, — «сапрыга» или «сапрыка» могло означать «сопливец» (от глагола «сапрыгать» — шмыгать носом). В. И. Даль фиксирует слово «сапрыка» именно в значении «непоседа» или «крикун». Таким образом, родоначальника Сапрыкиных могли прозвать за живой, взрывной характер.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Сапрыкин — сын Сапрыки. Это типичная модель для фамилий, образованных от прозвищ, оканчивающихся на -а или -я.

Если же написание «Сапрыикн» не ошибка, а редкий диалектный вариант, то вторая часть могла восходить к корню «икн» (от «икать»), и фамилия могла означать «Сапрыка, который икает». Но это маловероятная гипотеза: фамилии на -икн не зафиксированы в ономастических словарях.

География фамилии Сапрыкин (и её искажённых форм) — преимущественно южные и центральные регионы России: Курская, Воронежская, Ростовская области, а также Украина. Встречается и у белорусов. Социальный состав — в основном крестьяне и мещане, так как прозвища, данные по характеру, были характерны для низших сословий.

В итоге: если вы встретили написание «Сапрыикн», велика вероятность ошибки писаря, и фамилия должна читаться как Сапрыкин. Предки — люди с живым, возможно, неуживчивым нравом, получившие прозвище Сапрыка.