Фамилия Сапсаев образована от прозвища Сапсай. В её основе лежит тюркское слово «сапсан» — так называют крупного сокола, стремительного и зоркого охотника. Переход «н» в «й» в прозвищах и фамилиях — явление нередкое для южнорусских и казачьих говоров, где конечный звук смягчался или заменялся на более лёгкий. Таким образом, Сапсай — это человек, которого сравнивали с соколом: быстрый, острый глазом, напористый.

В русской антропонимии фамилии на -ев указывают на принадлежность: «чей?» — «Сапсаев», то есть сын или потомок Сапсая. Суффикс -ев, а не -ов, стоит после мягкого согласного «й», что типично для фамилий, образованных от прозвищ на -ай, -ей. Аналогичный путь прошли фамилии Бородаев (от Бородай), Каратаев (от Каратай), где исходная основа также оканчивалась на -ай.

Географически фамилия Сапсаев тяготеет к югу России — это Ростовская область, Краснодарский край, Ставрополье, а также к Волгоградской и Астраханской областям. В этих краях издавна жили казаки и крестьяне, и прозвища, связанные с птицами и животными, были особенно распространены: они метко характеризовали человека. Встречается фамилия и в Казахстане, что объяснимо близостью к тюркской языковой среде.

Менее вероятная, но допустимая версия — происхождение от названия реки Сапсай в Казахстане или от топонима Сапсай, который встречается в разных тюркоязычных регионах. Тогда фамилия могла указывать на выходца из этих мест. Однако прозвищная версия — от названия сокола — кажется более естественной: прозвища, данные по повадкам или внешности, давали на порядок чаще, чем по названиям мелких речушек.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» фамилия Сапсаев не упоминается, что говорит о её сравнительной редкости. Она не входит в число массовых, а значит, сохраняет локальный характер и, вероятно, имеет одну чёткую родовую ветвь, а не множество независимых очагов. Носители фамилии — это потомки одного или нескольких человек, получивших прозвище Сапсай, и фамилия не успела распространиться по всей стране.