Фамилия Сатиров — одна из тех, где сразу напрашивается связь с античной мифологией, но на деле всё прозаичнее. В древнегреческих мифах сатиры — лесные полулюди-полукозлы, спутники Диониса. Однако для русской фамилии такое прямое заимствование маловероятно: в народе древнегреческих персонажей не знали, а семинарская традиция давать фамилии по античным героям (Орлов, Аполлонов) была, но она оставила скорее единичные примеры, а не массовый след.

Гораздо убедительнее версия, что основа — не миф, а русское прозвище Сатир. В диалектах и старой речи «сатир» (или «сатыр») могло означать насмешника, ехидного человека или того, кто любит злые шутки. Слово действительно пришло из книжной культуры, но закрепилось как характеристика: «сатир» — тот, кто сатирически, язвительно высказывается. Такое прозвище могли дать бойкому на язык крестьянину или посадскому человеку. Фамилия образована по стандартной модели: прозвище + патронимический суффикс -ов, то есть «сын Сатира».

Встречается фамилия в основном в центральных и южных регионах России, но без резкой географической привязки. В документах XVII–XVIII веков попадаются единичные записи: например, крестьянин Сатир упоминается в переписных книгах, но фамилия оставалась редкой. Она никогда не была массовой, что косвенно подтверждает её прозвищное, а не «семинарское» происхождение — искусственные фамилии от античных имён давали охотнее и чаще.

Сравните с однокоренными: Сатиров — единственная распространённая форма. Вариант Сатирин (с суффиксом -ин) встречается реже и, скорее всего, образован от женского прозвища Сатира или от имени Сатир через форму «чей?». Сатирский — уже явно семинарская или искусственная фамилия, с книжным оттенком. Так что Сатиров — самый «народный» вариант, за которым стоит не миф, а живая речевая характеристика.