Фамилия Саваев чаще всего происходит от личного имени Савай. Это имя, в свою очередь, обычно связывают с эрзянским словом «савомс» (или «самс»), что значит «вернуться, прийти». В мордовских семьях такие имена давали неслучайно: если дети часто умирали, родители надеялись, что новорождённый «придёт» и останется в семье, как бы вернётся к жизни. Поэтому имя Савай давали как оберег, с пожеланием, чтобы ребёнок закрепился в этом мире.

Есть и другая, менее распространённая версия, которая возводит основу фамилии к церковному имени Савва. В переводе с арамейского оно означает «дед, старец» — так называли мудрого и уважаемого человека. Однако эта гипотеза выглядит слабее: если бы фамилия пошла от канонического Саввы, мы бы чаще встречали форму Савваев или Саввин. Форма Саваев указывает на более простую, народную основу — имя Савай, которое бытовало в крестьянской среде.

Существует также версия о прозвище Савай, связанном с кыргызским словом «сава» — «маленькая птичка». Так могли прозвать подвижного, ловкого человека, который постоянно что-то насвистывал или напевал, либо птичника, державшего и разводившего пернатую живность. Эта версия экзотична, но имеет право на существование, особенно если учесть, что в тюркских языках подобные прозвища были распространены.

Сама фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основам на мягкий согласный или й. Суффикс указывал на принадлежность: Саваев — значит «сын Савая». Такая модель была типична для русских, мордовских и тюркских народов, живших по соседству и активно смешивавшихся в Поволжье и на Урале. Поэтому фамилия Саваев встречается и у русских, и у мордвы, и у представителей других народов региона, что делает её типичным примером межэтнического именования.

Итоговая картина складывается такая: если ваши предки носили фамилию Саваев, скорее всего, они происходили из крестьянской или мещанской среды, где имя Савай было привычным. Это имя несло в себе пожелание жизни и возвращения, а не аристократического пафоса. Впрочем, без дополнительных генеалогических изысканий точно сказать, какая из версий применима к конкретной семье, нельзя — слишком много народов и традиций сошлось в этой короткой фамилии.