Фамилия Саваева в большинстве случаев образована от имени Савай, и это имя стоит в центре двух главных версий её происхождения. Первая, более правдоподобная, связывает его с эрзянским языком. Слово «савомс» или «самс» переводится как «вернуться, прийти». Имя Савай могло быть оберегом: в семьях, где дети часто умирали, существовал обычай давать новорождённому имя-пожелание, которое должно было «призвать» ребёнка к жизни или удержать его в этом мире. Такой ребёнок как бы возвращался в семью, и имя должно было защитить его от ранней смерти.

Вторая версия выводит прозвище Савай из кыргызского слова «сава» — «маленькая птичка». Если следовать этой гипотезе, то прозвище могли дать человеку подвижному и ловкому, тому, кто постоянно напевал или насвистывал, либо птичнику, который занимался разведением или ловлей птиц. Эта версия менее убедительна, хотя и не лишена оснований: прозвища по сходству с птицами в тюркской традиции встречаются часто.

Словообразовательная модель здесь проста и прозрачна. Имя или прозвище Савай попало в русскую фамильную формулу через суффикс принадлежности -ев. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или на й: в данном случае это конечный звук [й] в имени Савай. Такой тип фамилий — «чей сын?» — был широко распространён в среде крестьянства и посадских людей, поэтому фамилия Саваева отражает скорее патронимический принцип, чем сословную принадлежность. Потомок человека по имени Савай со временем и получил фамилию Саваева.

Интересно, что имя Савай не встречается в православных святцах, что косвенно подтверждает его иноязычное, скорее всего, финно-угорское происхождение. Это делает фамилию характерной для регионов Поволжья и Приуралья, где эрзянское и мокшанское население веками жило в тесном соседстве с русскими. В документах XIX века подобные имена-обереги нередко записывались как мирские, нецерковные, и могли сосуществовать с крестильным именем человека. Так что предки современных Саваевых, вероятно, жили в тех краях, и их семейное предание о происхождении имени могло быть связано с местными обычаями.