Фамилия Саваевы — это родовое имя, которое ведет начало от личного имени Савай. Перед нами типичная модель, где к основе на -й добавляется русский патронимический суффикс -ев, указывающий на «сына Савая». Такая словообразовательная схема характерна для мордовских фамилий, где имена на -ай (Кудай, Пургай, Савай) при переходе в русскую фамильную систему оформлялись именно через -ев, а не через -ов.

Наиболее правдоподобное объяснение связывает имя Савай с эрзянским языком, а именно с глаголом «савомс» или «самс», что значит «прийти», «вернуться». В эрзянской среде бытовал обычай давать детям имена-обереги в тех семьях, где младенцы часто умирали. Считалось, что имя со значением «пришедший», «вернувшийся» обманет злых духов: ребенок словно бы приходит в этот мир заново, уже не принадлежа прежним бедам. Поэтому имя Савай могло быть не столько пожеланием, сколько защитной формулой, призванной удержать новорожденного среди живых.

Существует и иная версия, выводящая прозвище Савай из кыргызского языка, где «сава» означает «маленькая птичка». Если следовать этой гипотезе, то прозвище могли дать человеку подвижному, верткому, либо тому, кто постоянно насвистывал или напевал, либо же птичнику, ухаживающему за домашней птицей. Эта версия выглядит менее убедительной: географически и исторически связь эрзянского Поволжья с кыргызским языком не прослеживается, тогда как эрзянская основа ложится в контекст мордовского именослова естественно.

Путаница с корнем возникает из-за того, что имя Савай звучит одинаково в разных традициях, но его носители в каждом регионе вкладывали в него свой смысл. В русских документах фамилия Саваев фиксировалась в формах, характерных для крестьянского и мещанского сословия, а ее распространение связано с территориями расселения мордвы-эрзи — современные Нижегородская область, Мордовия, Пензенская область, а также с переселенческими районами Поволжья и Урала.

О точном времени возникновения фамилии говорить сложно: процесс закрепления фамилий у мордвы растянулся на несколько столетий и завершился в основной массе лишь к XIX веку, когда церковный учет и переписи потребовали наследственных прозваний. Потомок человека по имени Савай, то есть «сын Савая», со временем и получил фамилию Саваев, которая закрепилась за его родом. Сегодня фамилия Саваевы сохраняет память о древнем эрзянском имени-обереге, в котором сплелись надежда на продолжение рода и вера в силу родного слова.