Фамилия Саваренко звучит на украинский лад, и это прямое указание на её происхождение. Типичный украинский суффикс -енко, означающий «сын» или «потомок», прикреплён к основе, которая, скорее всего, является формой имени Савва. В украинской народной традиции имя Савва (каноническое, от древнееврейского «сабба» — старец, дед) часто приобретало разговорные варианты: Сава, Савка, Савеня. От этого уменьшительного Савара (с суффиксом -ар-, придающим оттенок принадлежности или ласкательности) и образовалась фамилия. Иными словами, Саваренко — это «потомок Савары», то есть сын человека, которого в быту звали Савой или Савкой.

Менее вероятная, но возможная версия связывает основу с прозвищем. В южнорусских и украинских говорах слово «савара» могло означать «сажа», «копоть» или относиться к чему-то грязному, тёмному. Если предок работал с углём, был печником или просто отличался смуглой кожей, его могли прозвать Саварой. Однако в ономастике прозвища от имени всегда перевешивают бытовые, если есть хоть малейшая фонетическая близость. Имя Савва было широко распространено среди крестьян и казачества, поэтому версия с крестильным именем выглядит убедительнее.

Географически фамилия привязана к центральной и восточной Украине, а также к югу России (Кубань, Ростовская область), куда активно переселялись украинцы. В польских и белорусских метриках она почти не встречается — это маркер именно украинской модели фамилеобразования. Сословного барьера у Саваренко не было: её носили и казаки, и крестьяне, и мещане. В XIX веке, при массовом закреплении фамилий, вариант с -енко стал самым ходовым для потомков человека по имени Сава.

Написание фамилии устойчивое, без вариантов вроде Саворенко — это говорит о том, что основа сохранила чёткое произношение. Если ваш предок — Саваренко, то, скорее всего, он был из семьи, где деда или отца звали Саввой, а сама фамилия закрепилась в период, когда украинские земли входили в состав Российской империи, примерно в XVIII–XIX веках.