Фамилия Саварины образована от личного прозвища Савара — так на Руси нередко называли людей, чем-то выделявшихся внешне или поведением. В основе прозвища лежит этноним «савары» (или «савиры»): так византийские и армянские авторы V–IX веков именовали прикаспийские кочевые племена гуннского или тюркского происхождения, родственные хазарам. Эти племена, известные ещё Птолемею во II веке, представляли собой серьёзную военную силу на Северном Кавказе, и Византия с Сасанидским Ираном охотно привлекали их в борьбе за влияние в регионе. Вероятно, предок Савариных либо сам происходил из этих племён, либо внешним видом или образом жизни напоминал савар — например, был смугл, суров или вёл кочевой, беспокойный быт.

Есть и другая версия: в монгольском языке «савар» значит «лапа, коготь», поэтому прозвище могли дать человеку с большими, сильными руками. Эта гипотеза менее экзотична, но и менее убедительна: связь с этнонимом выглядит естественнее, ведь прозвища по национальности или месту происхождения на Руси давали очень часто. Не стоит сбрасывать со счетов и третью, совсем редкую версию — от английского «savary, savoury», то есть «вкусный, острый; приятный, привлекательный». Тогда Саварой могли окрестить повара, готовившего острое блюдо, либо просто обаятельного человека. Но эта гипотеза слабая: прямое заимствование из английского в народную прозвищную среду маловероятно, скорее здесь случайное созвучие.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Саварин значит «сын Савары», «из рода Савары». Такая модель — одна из самых распространённых в русской ономастике, она встречается у фамилий, образованных от слов, оканчивающихся на -а или -я. Точное время и место возникновения фамилии сейчас установить сложно: процесс формирования русских фамилий растянулся на несколько столетий, и крестьянские семьи часто получали их лишь к XIX веку. Тем не менее, Саварины — это живой след древних степных связей, которые через прозвище и фамилию дошли до наших дней.