Фамилия Саварин ведет начало от личного прозвища Савара. Чаще всего его связывают с древним народом саваров (савиров) — прикаспийскими кочевниками гуннского или тюркского происхождения, родственными хазарам. Эти племена упоминает еще Птолемей во II веке н. э., а византийские и армянские авторы V–IX веков хорошо знали их как серьезную военную силу на Северном Кавказе. Саваров активно использовали в своей борьбе за кавказское владычество и Византия, и Сасанидский Иран. Основатель рода Савариных, вероятно, происходил из этих племен либо по внешнему виду или образу жизни напоминал савара. Здесь работает обычная для прозвищ логика: чужака или человека с необычными чертами могли называть по этнониму.

Впрочем, у прозвища Савара есть и другие объяснения. В монгольском языке «савар» значит «лапа, коготь», поэтому так могли прозвать человека с большими, сильными руками. Иногда эту фамилию пытаются сблизить с английским savoury — «вкусный, острый; приятный, привлекательный», а также «острое блюдо, подаваемое до или после обеда». Согласно этой версии, Саварой нарекали либо повара, готовившего такую закуску, либо просто приятного, обаятельного человека. Версия с монгольским корнем выглядит правдоподобнее: она органично вписывается в тюркско-монгольский пласт прозвищ, распространенных в южнорусских и поволжских землях. Английское же заимствование в народной среде маловероятно — такие слова вряд ли становились основой прозвищ в русских деревнях.

Сама фамилия образована по стандартной модели: к основе Савара добавили притяжательный суффикс -ин, который указывает на принадлежность. Саварин буквально значит «сын Савары», «ребенок Савары». Такая модель типична для русских фамилий, возникших от прозвищ, оканчивающихся на -а или -я: сравните Гаврилин, Буслаев, Пугачев. Фамилия не слишком распространена, что неудивительно: исходное прозвище давно вышло из обихода, а память о нем сохранилась только в фамильном имени.