Фамилия Саваровская образована от прозвища Савар, которое восходит к названию народности Савары (или савиры). Так называли прикаспийские кочевые племена гуннского или тюркского происхождения, родственные хазарам. Они упоминаются Птолемеем (II век н. э.), хорошо были известны византийским и армянским писателям V-IX веков. Савары представляли собой серьёзную военную силу на Северном Кавказе и часто использовались Византией и Сасанидским Ираном в их борьбе за владычество на Кавказе. Вероятно, основатель рода Саваровских был выходцем из этих племен, либо внешним видом или по ведению, образу жизни чем-то напоминал саваров. Есть и другая версия происхождения прозвища Савар, которое восходит к нарицательному «савар». В монгольском языке оно означает «лапа, коготь». В этом случае, так могли прозвать человека с большими руками. Нельзя исключать, что фамилия Саваровская связана с английским словом «savary, savoury», которое на русский язык переводится как «вкусный, острый; приятный, привлекательный; а также острое блюдо, подаваемое до или после обеда». Соответственно, Саваром нарекали либо повара, который готовил это блюдо, либо привлекательного человека. Со временем, вероятно, род Саваровых переехал на территории Украины или Белоруссии, где и произошла трансформация фамилии путем добавления суффикса -ский.