Фамилия Савостна — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. На первый взгляд она похожа на усечённую форму от «Савостьянов» (от имени Севастьян), но суффикс -на указывает на другую модель. В русской ономастике фамилии на -на обычно имеют женскую форму (например, Иванов — Иванова), но здесь окончание стоит в мужском роде: Савостна. Это может говорить о том, что фамилия образована по украинской или белорусской модели, где -на встречается как вариант притяжательного суффикса, либо от прозвища, которое уже заканчивалось на -на.

Самая вероятная основа — диалектное или просторечное «Савост» (сокращение от Савостьян, народной формы имени Севастьян). Имя Севастьян (от греческого «себастос» — «почтенный», «досточтимый») давали в честь святого Севастиана, популярного в православии. В быту имя упрощалось до Савостьян, а затем до Савост. Суффикс -на в таком случае мог закрепиться как фамильный показатель, аналогичный украинским фамилиям типа Голобородько, но с другим окончанием.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с глаголом «савостить» (в некоторых говорах — «суетиться», «делать что-то небрежно»). Если предок получил прозвище Савостна за манеру работы, фамилия могла закрепиться в форме, близкой к исходному прозвищу. Однако эта гипотеза слабая: глагол редкий и не имеет устойчивого распространения.

Географически фамилия Савостна встречается в основном на западе России и на Украине, что подтверждает версию о южнорусском или украинском происхождении. Носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками, а сама фамилия закрепилась в XIX веке при переписях, когда форму прозвища записали без изменений.