Фамилия Саврика — редкий случай, когда географический акцент почти наверняка перевешивает все остальные версии. Она звучит как типичная украинская или южнорусская фамилия, образованная по модели, которая в XIX веке была распространена на западе и юге Российской империи: суффикс -ик(а) с ударением на первый слог. В русском языке такой суффикс чаще встречается в белорусских и украинских фамилиях (Гаврилик, Павлик, Иваника) и указывает на «сына» или «маленького» носителя имени.

Основа фамилии — личное имя Савва (краткая форма Савка). Савва — древнееврейского происхождения, означает «старец, мудрец». В народной среде имя было очень популярно, особенно среди крестьян и духовенства. Таким образом, Саврика — это «сын Савки» или «маленький Савка». Ударение на первый слог (Сáврика) характерно для украинского и южнорусского произношения; в северных говорах фамилию могли бы произносить как Саври́ка, но это маловероятно из-за редкости фамилии.

Есть и более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть от прозвища Саврик — так могли называть человека, который постоянно поминал святого Савву, или просто невысокого, юркого парня. В пользу этого говорит то, что суффикс -ик в русских прозвищах часто имел уменьшительно-ласкательное или ироническое значение.

Сословная принадлежность предков неясна. Судя по модели, это крестьянская или мещанская фамилия, но без архивных записей точнее сказать нельзя. В дореволюционных метрических книгах фамилия встречается эпизодически, в основном на территории современных Полтавской, Черниговской и Харьковской областей. Встречается также вариант написания Саврико — он характерен для кубанских казаков, куда фамилия могла попасть вместе с переселенцами с Украины.

Однокоренные фамилии — Савриков, Савриченко, Саврицкий. Саврика выделяется среди них именно суффиксом -ик(а), который редко встречается в русском ономастиконе и почти всегда выдает южное или западное происхождение.