Фамилия Саврий — редкий случай, когда мы имеем дело не с отчеством или прозвищем, а с усечённой формой полного имени. В основе лежит крестильное имя Савва (краткая форма от Савватий), которое в некоторых диалектах и просторечии давало варианты вроде Саврий. Суффикс -ий здесь не типичный для русских фамилий показатель принадлежности, а скорее остаток от полной формы имени — Саврий воспринималось как самостоятельное имя, от которого и пошла фамилия.

По словообразовательной модели Саврий стоит особняком. Если бы фамилия образовалась стандартным путём, мы бы имели Саввин или Савков. Суффикс -ий в русских фамилиях встречается редко и чаще всего в украинских или польских вариантах (Саврий, а не Саврий). Это наводит на мысль о южнорусском или украинском происхождении: в украинском языке фамилии на -ий (Ткач — Ткачий, Коваль — Ковалий) не редкость.

Вероятнее всего, предок носителя фамилии Саврий был человеком, которого в быту звали просто Саврий — сокращённо, по-домашнему, от церковного Савватий. Такое именование могли закрепить за крестьянином или мещанином в документах XVII–XVIII веков, когда фамилии только фиксировались. Географически фамилия тяготеет к западным и южным регионам: её можно встретить в Черниговской, Полтавской, Харьковской губерниях, реже — в центральной России.

Спорных версий здесь немного. Иногда пытаются связать Саврий с латинским «savus» (здоровый) или греческим «саврос» (ящерица), но это натяжка: имя Савватий имеет древнееврейское происхождение и означает «суббота», а народная форма Саврий — чисто славянская переделка. Фамилия не дворянская и не купеческая — её носители, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками, у которых закрепилось уличное прозвище по имени.