Фамилия Саврова — женская форма, а её мужской вариант, Савров, встречается реже. В основе фамилии лежит нецерковное имя или прозвище Савр. В древнерусском языке «савр» означало «ящерица», а в южнославянских диалектах — «суслик» или «хомяк». Скорее всего, прозвище дали человеку за внешнее сходство или повадки: например, юркому, быстрому или, наоборот, нелюдимому.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским словом «сауыр», что переводится как «крутой склон, обрыв». В таком случае прозвище могло закрепиться за жителем овражистой местности. Однако для русской ономастики типичнее образование от прозвищ по животным, поэтому версия с ящерицей или грызуном выглядит правдоподобнее.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: Савров буквально означает «сын Савра». Фамилия не относится к числу распространённых, её географическое ядро — центральные и южные области России, где фамилии на -ов преобладают. Встречается она и на Украине, но реже.

Однокоренные фамилии — Саврин, Саврухин, Савруков — образованы от тех же основ, но с разными суффиксами. Сравнение показывает, что в основе везде лежит одно и то же прозвище, а не церковное имя (в святцах нет имени Савр). Фамилия Саврова не дворянская и не купеческая — скорее всего, её носили крестьяне или мещане, получившие прозвище в быту.