Фамилия Шатановская — женская форма от Шатановский. Её основа почти наверняка связана с топонимом: такую фамилию давали человеку, который переехал из места под названием Шатаново, Шатановка или Шатановичи. Географическая привязка здесь первична, а не прозвище или ремесло.

Словообразовательная модель типична для польской и западнорусской традиции: суффикс -ский/-цкий указывает на дворянское или шляхетское происхождение, хотя в XIX веке такие фамилии активно получали и выходцы из духовенства, и просто крестьяне, которых записывали по названию деревни. Фамилии на -ский в восточной части Речи Посполитой (современные Беларусь, Украина, западные области России) носили как знак принадлежности к месту, а не обязательно к сословию.

Корень «шатан» — тёмный. Самое простое объяснение: от диалектного «шатать» (качать, бродить) или от прозвища Шатан (беспокойный, шатун). Но для фамилии Шатановский такая версия слаба: если бы в основе лежало личное прозвище, фамилия скорее звучала бы как Шатанов (с суффиксом -ов), а не -ский. Поэтому правдоподобнее, что исходный топоним Шатаново образован от имени или прозвища первого поселенца, а уже от названия деревни пошла фамилия.

В ономастических справочниках фамилия редкая. Встречается в основном в западных регионах России, в Беларуси и на востоке Украины — как раз там, где распространены названия на -ово и фамилии на -ский. Встречается и вариант Шатановская с ударением на втором слоге, хотя логичнее ударение на «о»: Шатано́вская, от Шатано́во.

Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой вероятностью они происходят из небольшого села или хутора, который в документах XVIII–XIX веков фигурировал как Шатаново. Точное место найти сложно — таких топонимов несколько, и часть из них уже не существует.