Фамилия Силиверстова — женская форма мужской фамилии Силиверстов, которая образована от крестильного имени Сильвестр (через народную форму Силиверст). Имя это латинского происхождения, от silvester — «лесной», «живущий в лесу». В святцах оно закрепилось благодаря нескольким раннехристианским святым, в том числе папе римскому Сильвестру I (IV век), но в русской народной среде имя быстро обросло бытовыми вариантами — Селиверст, Силиверст, Сильверст. Фамилия зафиксировала именно разговорное произношение, с заменой мягкого «ль» на твёрдое «л» и с упрощением группы согласных.

Суффикс -ов- указывает на стандартную модель русских фамилий XIX века: Силиверстов — «сын Силиверста». Такие фамилии в основном носили крестьяне, мещане и духовенство; дворянские роды с этой фамилией редки и, как правило, позднего происхождения. Интересно, что в церковной среде имя Сильвестр было популярно: его носил, например, митрополит Сильвестр (Медведев), а в XVII веке — знаменитый протопоп Сильвестр, духовник Ивана Грозного. Однако фамилия Силиверстов не обязательно указывает на священническое происхождение: крестьяне тоже часто называли сыновей в честь святого.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным губерниям России — Вологодской, Архангельской, Костромской, а также к Поволжью. Встречается и вариант Селиверстов — более близкий к книжной форме имени. Разница в написании (Силиверстов против Селиверстов) отражает местные говоры: в одних регионах аканье давало «Силиверст», в других — «Селиверст». Оба варианта считаются нормативными для фамилии, но форма через «и» встречается реже и может указывать на конкретную локальную традицию.

С точки зрения словообразования, Силиверстова — типичная «фамилия-прилагательное» в женском роде. В документах XVIII–XIX веков такие фамилии часто писали с окончанием -ая (Силиверстовая), но к концу XIX века закрепилась краткая форма на -а. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или мещанами, а родоначальник — человеком по имени Силиверст, родившимся, вероятно, не позднее середины XVIII века.