Фамилия Синькин в своей основе имеет прозвище Синька. Это краткая форма, которая в старину могла относиться к «профессиональным» именованиям, указывающим на род занятий человека. Синельником, а в обиходе просто Синькой, называли мастера, который красил ткани в синий цвет. Однако есть и другое значение: синелью называли особый вид кручёных нитей, и тот, кто их выделывал, тоже мог получить такое прозвище. В некоторых говорах глагол «синить» означал красить ткани вообще, в любой цвет, так что круг возможных ремёсел расширяется.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: суффикс -ин указывает на принадлежность, то есть Синькин — это «сын Синьки», потомок человека с таким прозвищем. Подобный тип фамилий широко распространён в русской ономастике и не требует дополнительных комментариев.

Интересно, что в документах, собранных историком С. Веселовским, встречаются родственные прозвища и фамилии. Например, Синков Богдан Григорьев, откупщик, упоминается в 1569 году во Владимире; Синюха Семен, посадский человек, — в 1570 году в Ладоге; Синявины Матвей и Медведь Федоровичи — в 1522 году в Боровске; Синяков Андрей, посадский человек, — в 1582 году в Новгороде. Эти записи показывают, что прозвища, образованные от корня «син-», были в ходу в разных регионах и среди разных сословий — от откупщиков до посадских людей.

Отдельного внимания заслуживает суффикс -к-, который в данном случае выполняет уменьшительно-ласкательную функцию. В XV–XVII веках такие формы активно использовались в бытовом общении, и именно они часто становились основой для фамилий. Так что Синька — это не оскорбительное или грубое прозвище, а скорее обиходное, «домашнее» именование мастера или просто человека, которого отличал какой-то признак, связанный с синим цветом.

Стоит упомянуть и о возможной альтернативной версии: прозвище Синька могло быть связано с особенностями внешности, например, с синеватым оттенком кожи или родимым пятном. Но эта гипотеза выглядит менее убедительной, поскольку в исторических источниках, которые приводит Веселовский, все родственные именования так или иначе тяготеют к профессиональной или социальной сфере. К тому же распространённость именно «красильных» значений в говорах делает ремесленную версию более вероятной.

Таким образом, фамилия Синькин — это классический пример русского родового именования, возникшего из прозвища по профессии. Потомки человека, который красил ткани или выделывал нити, со временем закрепили за собой фамилию, и сегодня она несёт в себе память о ремесле, которым занимался их далёкий предок.