Фамилия Синявкая — это, скорее всего, орфографический или диалектный вариант написания более распространённой фамилии Синявская. В русском языке суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту, поэтому основная масса фамилий на -ский/-ская — это бывшие прозвища по географическому названию: кто-то из Синявки, Синявина или Синявского урочища. Если же написание «Синявкая» закрепилось официально (а такое бывает из-за ошибок в паспорте или местного произношения), то корень остаётся тем же: «синь», «синий».

В основе лежит прилагательное «синий» или древнерусское прозвище «Синява» — так могли назвать человека с синеватым оттенком кожи (например, от болезни или смуглости), либо того, кто постоянно носит синюю одежду, либо даже того, кто живёт у «синего» места — у озера, болота или леса, где водится синеватая глина. В ономастике известен топоним Синявка — таких деревень и речек немало в Белоруссии, на Украине и в западных областях России. Переселенец из такого села и получал прозвище Синявский, а его жена или дочь — Синявская.

Форма «Синявкая» вместо «Синявская» — редкий, но любопытный случай. В некоторых говорах (особенно южнорусских и белорусских) окончание -ая могло вытеснять книжное -ская в устной речи, а потом случайно записывалось в документах. Если ваша фамилия пишется именно так, высока вероятность, что предки были выходцами из Синявки (например, в нынешней Черниговской или Минской области) и фамилию зафиксировали «на слух», без строгой литературной нормы.

Разбирать суффикс -к- здесь не имеет смысла — это не уменьшительная форма, а результат упрощения. Сословная принадлежность у таких фамилий чаще всего крестьянская или мещанская: дворяне Синявские (польского происхождения, герба «Лелива») писались строго через -ский. А вот «Синявкая» — это народная, бытовая версия, которая говорит о том, что предки, скорее всего, не принадлежали к шляхте, а были простыми людьми, записанными в метриках по месту жительства.