Фамилия Слижук звучит как типичная украинская, и это первая и самая точная зацепка. Её выдает суффикс -ук, который в украинской ономастике выполняет ту же роль, что русский -ов или белорусский -ович: он указывает на родство, чаще всего — на сына или ученика. То есть Слижук — это «маленький Слиж» или «сын Слижа».

Основа фамилии — прозвище Слиж. Здесь возможны два варианта, и оба ведут в мир народной наблюдательности. Первый и самый вероятный: от глагола «слизить» или «слизнуть» — то есть делать что-то медленно, тянуть, возиться. В украинских говорах «слизь» могло означать не только слизь, но и вялого, неторопливого человека. Сравните с русским диалектным «слизняк» — тот же смысл. Второй вариант: прозвище могли дать человеку с влажными, блестящими глазами или с характерной манерой говорить «в нос», что ассоциировалось со слизью. В любом случае, Слиж — это прозвище по внешности или поведению, а не по профессии.

Географически фамилия тяготеет к западным и центральным областям Украины: Волынь, Подолье, Житомирщина. В России она встречается редко и почти всегда следствие переселений конца XIX — начала XX века. Интересно, что в польских метриках XVIII века можно найти форму Śliżuk — с мягким знаком и носовым гласным, что подтверждает её западноукраинское происхождение.

Социально Слижуки, скорее всего, были крестьянами или казаками. В реестрах Запорожского войска фамилия не зафиксирована, но в метрических книгах Киевской губернии середины XIX века она встречается у мещан и однодворцев. Дворянских родов с такой фамилией не известно — модель на -ук не характерна для шляхты, предпочитавшей -ский или -ович.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Слизкий, Слизев, Слизко — то Слижук стоит особняком. Те чаще встречаются в России и образованы от прилагательного «слизкий» (скользкий, неприятный), а украинский Слижук — от глагольного прозвища. В белорусском языке есть параллель Сліжук, но там основа могла быть связана со словом «сліжыць» (следить, высматривать), что даёт совсем другую этимологию, но для украинской версии она маловероятна.

Таким образом, фамилия Слижук рассказывает о предке, которого в деревне прозвали за неторопливость или особенность речи. Никакой тайны, только живой язык и бытовая наблюдательность.