Фамилия Слижёв — редкий случай, когда основа настолько тёмная, что без региональной привязки можно лишь гадать. В центральных и южнорусских говорах слова «слиж» не найти. Зато в северных, особенно архангельских и вологодских, «слиж» — это то же, что «слизень» или «слизняк», то есть медлительный, вялый человек. Прозвище Слиж могли дать флегматичному, неторопливому крестьянину. Суффикс -ёв указывает на типичную русскую модель образования: Слижёв — сын Слижа.

Но есть и вторая, более редкая версия. В некоторых местностях «слижом» называли не человека, а предмет — узкую полоску земли, межу, или же нечто скользкое, топкое. В этом случае прозвище могло закрепиться за человеком, жившим у такой полосы или на болотистой почве. Однако эта гипотеза слабее: прозвища от географических объектов обычно образуются с суффиксом -ский (Заозёрский, Прилуцкий), а не -ёв.

Обратите внимание на ударение — оно падает на последний слог: Слижёв. Если бы фамилия была Слижев, её можно было бы связать с украинским или белорусским словом «слиж» (след, полоса), но форма с ё твёрдо указывает на русский говор, где ёканье было нормой. Сравните с фамилиями Рыжёв, Ложкин — у них та же модель: прозвище на -ж + патронимический суффикс.

Сословная принадлежность Слижёвых неясна. В дореволюционных списках эта фамилия встречается редко, что говорит о её недворянском, скорее крестьянском или мещанском происхождении. Если ваши предки — Слижёвы, ищите корни на севере России, особенно в бывшей Вологодской или Архангельской губернии. Там прозвище Слиж было бы понятно без словаря.