Фамилия Солодай звучит на слух как украинская или южнорусская — и это верное первое впечатление. В её основе лежит слово «солод», то есть пророщенное и высушенное зерно, главный ингредиент для пивоварения и кваса. Человек, которого прозвали Солодаем, скорее всего, либо занимался изготовлением солода, либо торговал им. В среде ремесленников и крестьян такие прозвища по роду занятий давали без затей: Мельник, Кузнец, Солодай — сразу понятно, чем кормится семья.

Суффикс -ай в украинских и белорусских фамилиях встречается реже, чем стандартное -енко или -ук, и придаёт основе энергичный, «действующий» оттенок. Сравните: «солодить» (делать солод) — Солодай, то есть «тот, кто солодит». Это не пассивное именование по отцу, а активное прозвище самого мастера. В русских говорах тоже встречается слово «солодай» — так могли назвать любителя сладкого или даже просто лакомку, но профессиональная версия выглядит убедительнее и встречается в источниках чаще.

Фамилия распространена на Украине (особенно в Черниговской, Полтавской и Сумской областях) и в прилегающих регионах России — Курской, Белгородской, Воронежской областях. Встречается и в Беларуси, но реже. В XIX веке Солодаи числились преимущественно среди крестьян и мещан, хотя отдельные ветви могли подниматься до купечества: солодовенное производство было делом доходным, и некоторые семьи держали собственные солодовни.

По модели образования фамилия Солодай — типичное прозвище, которое закрепилось без дополнительных суффиксов. В отличие от Солодовникова (где суффикс -ов указывает на принадлежность), Солодай — «чистое» прозвище, перешедшее в фамилию. В документах XVIII–XIX веков можно встретить варианты написания «Солодай» и «Солодый»; путаница возникала из-за того, что в украинском произношении конечный звук мягче, а на письме его передавали по-разному. Но основной, устоявшийся вариант — именно Солодай.

В ономастических словарях (например, у Ю. К. Редько) фамилия связывается со словом «солод» и объясняется как профессиональное прозвище пивовара или солодовщика. Спорных версий здесь немного: иногда пытаются вывести корень от «солодкий» (сладкий), но это кажется натяжкой — связь с конкретным ремеслом лежит на поверхности и подтверждается географией бытования фамилии в центрах пивоварения.