Фамилия Солягина — женская форма фамилии Солягин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -ин указывает на принадлежность: в древнерусской традиции так образовывали притяжательные прилагательные от личных имён, прозвищ или названий профессий. Солягин — буквально «сын Соляги» или «человек из рода Соляги». Основа здесь — Соляга, прозвище или мирское имя.

Корень «сол-» сразу наводит на мысль о соли. В дореволюционной России соль была стратегическим товаром, и соляной промысел дал множество фамилий: Соловьёв (от соловей, а не от соли), Солодовников, Соляников. Но Соляга — более редкая форма. Скорее всего, прозвище Соляга дали человеку, который либо торговал солью, либо занимался её добычей или перевозкой. В говорах «соляга» могло означать и любителя солёной пищи, и работника на соляных варницах.

Версия с уменьшительно-уничижительным суффиксом -яга тоже возможна. В русском языке суффикс -яга встречается в словах с оттенком просторечия или пренебрежения (бедняга, работяга, деляга). Если Соляга — прозвище, оно могло закрепиться за невысоким, суетливым или, наоборот, «солёным» на язык человеком. Ономастический словарь Б. Унбегауна не выделяет Солягина как отдельную статью, но относит подобные формы к группе фамилий от прозвищ, связанных с продуктами и ремёслами.

Географически фамилия Солягина встречается в основном в центральных и южных регионах России, особенно в Волгоградской и Ростовской областях, где исторически были развиты соляные промыслы и торговля по Волге. Встречаются и однокоренные варианты: Солягин, Соляков, Соляхин — все они восходят к одному кругу занятий, но с разными суффиксами.

Важно не путать Солягина с фамилией Солянкин (от «солянка» — блюдо или заросли солончака) или с Соловьёвым, где корень иной. Если ваш предок носил фамилию Солягин, он с большой вероятностью был связан с солью — добывал, продавал или просто получил прозвище за характерную черту. Точнее сказать трудно: письменных источников по этой фамилии мало, и она не относится к числу древних боярских родов.