Фамилия Стаев — наглядный пример того, как простое прозвище превратилось в родовое имя. Её основа — не тюркское и не заимствованное слово, а исконно русское прилагательное «ста́рый». В древнерусском языке оно значило не только «достигший преклонных лет», но и «бывалый», «опытный», «прежний», «давний». Человек, которого в XV–XVII веках прозвали Ста́ем, мог быть старейшиной, старожилом или просто пожилым крестьянином, выделявшимся возрастом.

Словообразовательная модель здесь проста и прозрачна: прозвище Стай (от «старый» с усечением суффикса) плюс притяжательный суффикс -ев. Формант -ев, а не -ов, указывает на то, что в основе лежала основа на мягкий или шипящий согласный: Стай — Стаев. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от личных прозвищ или имён. Аналогичным образом появились фамилии Старов, Стариков, Старцев — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами.

Есть и менее очевидная версия, которую иногда выдвигают: связь с тюркским словом «стай» (стойло, загон) или с диалектным «стаять» (растаять, исчезнуть). Однако эти гипотезы слабы: в тюркских языках ударение и звуковой состав не совпадают с русским прозвищем, а глагол «стаять» не даёт устойчивой прозвищной формы. Гораздо правдоподобнее, что Стаев — это «сын Стая», то есть потомок человека, которого за глаза называли Старым.

Фамилия редкая, не относится к числу распространённых дворянских или купеческих. Её носители — в основном крестьяне и мещане центральных и северных губерний России. Встречается она и в казачьей среде, но без массового распространения. В современной России Стаевы живут разрозненно, без ярко выраженного регионального гнезда.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, Стаев стоит особняком: в нём нет уменьшительно-ласкательного суффикса (как в Старикове) или указания на свойство (как в Старове). Это прямое, почти грубоватое прозвище, которое закрепилось за родом без смягчения. Такая честность и есть главная ценность фамилии: она без прикрас называет предка — старого, опытного человека, вокруг которого, вероятно, держался дом или хозяйство.