Фамилия Стаевский — яркий пример того, как географическая привязка может закрепиться в родовом имени. Её основа — топоним, то есть название места, а суффикс «-ский» прямо указывает на дворянскую или шляхетскую модель образования, популярную в Польше, на Украине и в западных губерниях Российской империи. Носитель фамилии Стаевский — это, скорее всего, выходец из населённого пункта с корнем «Ста-»: Стаево, Стаев, Стая или Стайки. Такие названия встречаются в Беларуси, на Смоленщине и в Черниговской области.

Разберём корень «Ста-». Он может восходить к слову «стайня» (конюшня) или «стая» (хлев, загон для скота). В диалектах «стая» означала также «стойбище», «место стоянки». Значит, предок-родоначальник мог жить в деревне, где держали скот, или на постоялом дворе. Менее вероятная, но возможная версия — связь с личным именем Стай (уменьшительное от Станислав или Евстафий), от которого образовано название села, а уже от него — фамилия.

В отличие от фамилий на «-ов» и «-ин», которые часто давались крестьянам по имени отца, «-ский» в XVI–XVII веках закреплялся за служилыми людьми и землевладельцами, владевшими поместьем с таким названием. Поэтому Стаевские могли быть небогатой шляхтой или однодворцами — потомками мелких служилых людей, живших на южных и западных рубежах. Позже, после отмены крепостного права, фамилию могли присвоить и крестьянам, переселившимся из деревни Стаево в другую местность.

Интересно, что фамилия не слишком распространена. Это говорит о том, что исходное село было небольшим, а род не разросся в многочисленные ветви. В современных базах данных Стаевские чаще всего встречаются в Беларуси (особенно в Витебской и Минской областях) и на западе России. Ударение, судя по традиции польских и западнорусских фамилий, падает на второй слог: Ста́евский.

Если ваш предок носил эту фамилию, ищите корни в небольших хуторах или деревнях с названием, производным от «стая». Это сужает поиск: не нужно перебирать все уезды — достаточно смотреть на карту западных губерний XIX века.