Фамилия Страженских звучит как прилагательное во множественном числе родительного падежа, но на деле это застывшая форма, типичная для фамилий на -ских/-цких. Такие фамилии чаще всего указывают на происхождение от географического названия: владелец был «из Страженска» или «из Страженок». В основе лежит топоним Стражено, Страженка или Страженск — название населённого пункта, которое, в свою очередь, образовано от слова «стража». Это могло быть сторожевой пост, укреплённое место или селение, где жили люди, нёсшие караульную службу.

Слово «стража» в древнерусском языке означало охрану, дозор, караул. Соответственно, первый носитель фамилии — человек, который либо жил в таком сторожевом поселении, либо был выходцем из него. Модель образования проста: от названия местности (Страж- + суффикс -ен-/-ин-) образовали прозвище или родовое имя, а затем притяжательную форму на -ский (чей? — Страженский). Форма Страженских — это родительный падеж множественного числа, который в русской традиции закрепился у фамилий польского или западнорусского происхождения (сравните: Страженский → из рода Страженских → Страженских).

Географически фамилия тяготеет к западным и юго-западным областям бывшей Речи Посполитой: современная Беларусь, Украина, восточная Польша. Там топонимы с корнем «страж-» встречаются чаще — например, деревня Стражено или Страженки. Сословно носители такой фамилии могли быть как шляхтой (мелкопоместные дворяне, владевшие хутором Стражено), так и крестьянами или казаками, получившими фамилию по месту жительства. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от личных имён или профессий, фамилии на -ский в этой среде обычно маркировали землевладельца или человека, приписанного к конкретному селу.

Интересная деталь: в некоторых говорах «страженский» могло быть не топонимическим, а прозвищным прилагательным — «суровый, строгий, как стражник». Но это менее вероятно, так как фамилии на -ский редко возникали напрямую из прозвищ без привязки к местности. Скорее всего, ваш предок носил фамилию именно по названию родного места — небольшого сторожевого поселения, которое могло не сохраниться до наших дней.