Фамилия Строите — редкий случай, когда перед нами не просто прозвище или профессия, а глагольная форма, застывшая в фамилии. В отличие от привычных Строевых или Строителевых, эта фамилия образована напрямую от повелительного наклонения глагола «строить» — «стройте». В русской ономастике такие фамилии называют «императивными»: они возникли из прозвищ-команд, которые давали человеку по его поведению, привычке командовать или, наоборот, по роду занятий.

Вероятнее всего, прозвище Строите (в форме «Стройте») мог получить либо человек, руководивший строительными работами, либо тот, кто постоянно подгонял других: «стройте, не стойте». Однако есть и более бытовая версия: в некоторых говорах «строить» означало не только возводить здания, но и наряжаться, прихорашиваться. Человека, который любил наряжаться или, напротив, слишком медленно собирался, могли окликнуть «Стройте» с иронией. Со временем это обращение закрепилось как прозвище, а затем и фамилия.

Фамилия явно недворянская и не относится к числу ранних аристократических. Скорее всего, она крестьянская или мещанская, возникшая в XIX веке, когда фамилии активно давали по прозвищам. Географически такие «императивные» фамилии чаще встречаются в северных и центральных губерниях России (Вологодская, Архангельская, Ярославская), где сохранялась архаичная форма обращения на «-те».

По написанию фамилия Строите стоит в ряду таких же редких форм, как Глядите, Держите, Покушайте. Встречаются также варианты Строев, Строитель, но Строите — один из самых необычных по своей структуре. Если ваши предки носили эту фамилию, можно предположить, что в основе лежала живая речевая ситуация: команда, окрик или шутливое прозвище, которое приклеилось к человеку и передалось потомкам.