Фамилия Строжева — женская форма, а мужская, Строжев, образована по простой и прозрачной модели: основа плюс суффикс притяжательности -ев. Суффикс указывает на то, что фамилию дали по отцу: Строжев — сын Строжа. Вопрос в том, что скрывается за прозвищем или именем Строж.

Самая прямая версия — от слова «сторож». В древнерусском языке и в говорах форма «строж» (с чередованием г/ж) как раз и означала сторожа, караульщика. Человек, нёсший сторожевую службу, мог получить прозвище Строж, которое затем закрепилось за его детьми. Фамилия Строжев (и Строжева) в этом случае — типичная «профессиональная» фамилия, как Ковалёв, Плотников или Кузнецов. Однако есть нюанс: форма «строж» в значении «сторож» встречается в документах реже, чем полное «сторож», поэтому не исключена и другая трактовка.

Вторая версия отталкивается от глагола «строжить» — делать строгим, быть строгим, а также в некоторых диалектах — «строжиться» означало «сердиться, хмуриться». Прозвище Строж могли дать человеку сурового нрава, требовательному или даже угрюмому. В таком случае фамилия перешла в разряд характеризующих, по личному качеству. Обе версии лингвистически равноправны, и различить их без знания конкретной истории семьи невозможно.

Фамилия редкая. Строжевых в России немного, и география их расселения не образует плотных гнёзд. Встречается она в центральных областях, на Урале и в Сибири — там, куда переселенцы приносили свои прозвища. Показательно, что однокоренные фамилии Сторожев, Стороженко и Сторожилов распространены гораздо шире, а Строжев остался на периферии языковой нормы. Это может говорить о том, что предки носителей фамилии жили в местности, где диалектная форма «строж» была обычной, или же фамилия возникла не в книжной, а в чисто устной среде.

В написании фамилии возможна путаница с вариантом Строжёва (под ударением на ё). В дореволюционных метриках и переписях букву «ё» часто заменяли на «е», поэтому в современных документах может быть закреплён тот вариант, который был записан писцом на слух. Если ваша фамилия пишется через «е», это не меняет её происхождения — корень один.