Фамилия Сулацкая — это женская форма, мужской вариант — Сулацкий. Оба варианта принадлежат к распространённому типу фамилий на -ский/-цкий, которые в основном носили дворяне, духовенство и выходцы из западнорусских земель (современные Беларусь, Украина, Польша). В крестьянской среде такие фамилии появлялись позже, часто по названию места, откуда человек переехал.

Главная загадка здесь — корень «сулак». Самое вероятное объяснение: географическая основа. В Польше и на западе Украины есть несколько мест с названием Сулак или Сулаки — деревни и хутора. Переселенец оттуда получал прозвище «Сулацкий» (через чередование к/ц, типичное для славянских языков: Сулак — Сулацкий). В России известна река Сулак в Дагестане, но маловероятно, что фамилия пошла от неё: топонимические фамилии обычно образуются от названий поселений, а не рек, к тому же фамилия Сулацкий встречается в центральных и западных регионах, а не на Кавказе.

Версия с прозвищем тоже существует. В южнорусских и украинских говорах «сула» или «сулак» могло означать нечто изогнутое, кривое (сравните с диалектным «сулить» — гнуть, или с тюркским «сулак» — извилистый). Так могли прозвать человека с характерной осанкой или изворотливым умом. Однако эта гипотеза слабее: для прозвищного происхождения логичнее ожидать суффиксы -ов/-ин, а -ский почти всегда указывает на «место».

Обратите внимание на написание: фамилия пишется через «ц», а не через «к» (не Сулакская). Это не ошибка, а закономерное историческое чередование, которое сохранилось в документах. Встречаемость фамилии невысокая, она сосредоточена в нескольких областях — северо-запад России, а также среди потомков переселенцев из западных губерний в Сибирь и на Дальний Восток. Если ваши предки были Сулацкими, скорее всего, их родословную стоит искать в мелкопоместной шляхте или крестьянах, получивших фамилию по названию небольшого хутора на границе современных Беларуси и Польши.