Фамилия Сытая хранит память о прозвище предка — Сытый. Это слово звучало иначе, чем сегодня: в старину «сытый» означало не только наевшегося досыта, но и зажиточного, обеспеченного человека, у которого в доме всегда был достаток. Прозвище могли дать хозяину, чей стол ломился от яств, или тому, кто жил в довольстве и не знал нужды.

Есть и вторая версия, более редкая. Она возводит прозвище к нарицательному «сыта» — так называли воду, подслащенную медом, древний предок медовухи и сбитня. Сыта была повседневным питьем на Руси, и человек, который ее готовил или торговал ею, вполне мог получить прозвище Сытый. Эта гипотеза правдоподобна, но уступает первой: прилагательное «сытый» в значении достатка встречается в источниках чаще, чем упоминания о ремесле сытника.

Модель образования фамилии проста и типична для северных и южнорусских говоров: прозвище Сытый перешло в фамилию через форму притяжательного прилагательного. В официальных документах и быту прозвище, изначально присоединенное к наследственному имени, со временем полностью его вытеснило — так потомки Сытого стали Сытыми, а женщина из этого рода получила форму Сытая.

Интересно, что фамилия сохранила архаичное ударение на первом слоге — Сытая, тогда как современное прилагательное чаще произносят с ударением на «ы». Эта особенность выдает глубокие корни прозвища, закрепившегося в языке задолго до того, как фамилии стали фиксироваться в переписях.

Однокоренные фамилии — Сытов, Сытых, Сытников — встречаются по всей России, но форма Сытая распространена преимущественно в южнорусских областях, где притяжательные прилагательные в женском роде сохранялись дольше. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, происходили из крестьянской или купеческой среды, где прозвища отражали достаток или занятие человека.