Фамилия Тарбецкая звучит как женская форма, но её основа — мужская Тарбецкий. Это типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «название места + суффикс -цк-». Суффикс -цк- (сравни: Трубецкой — от Трубчевска, Вяземский — от Вязьмы) указывает на происхождение из определённого населённого пункта. В данном случае исходным могло быть село или местечко с названием Тарбеево, Тарбово или Тарбек — такие топонимы встречаются в западных и центральных регионах бывшей Речи Посполитой и Российской империи.

Корень «Тарб-» не имеет очевидного славянского значения. Скорее всего, он тюркского происхождения. В тюркских языках «тарба» или «тарбу» может означать «копать», «рыть», либо быть частью личного имени. Есть версия, что в основе лежит тюркское прозвище Тарбей — «землекоп» или «тот, кто роет колодцы». Такие прозвища давали людям, занятым строительством, добычей глины или рытьём канав. От прозвища Тарбей образовались фамилии Тарбеев, Тарбеевский, а уже от них — более редкая форма Тарбецкий (с заменой суффикса на -цк- по типу «дворянских» фамилий).

Сословный состав носителей фамилии мог быть разным. В XVIII–XIX веках фамилии на -цкий чаще встречались у польской шляхты и русского духовенства, но не исключено, что Тарбецкие происходили из крестьян или мещан, получивших фамилию по названию деревни, где жили. В польских метриках встречается форма Tarbiecki — это указывает на возможное западнорусское или белорусское происхождение.

Интересная деталь: фамилия Тарбецкая очень редкая. В современной России она почти не встречается за пределами нескольких областей — например, в Псковской и Смоленской губерниях исторически были селения с похожими названиями. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни именно в этом регионе, возможно, вблизи бывшей границы с Польшей.