Фамилия Таргонский — потомок польских топонимов, а не прозвище или личное имя. В её основе лежит название города Таргон, и таких городов было два: один в Мазовецком воеводстве, другой в Подляском. Оба стояли на территории современной Польши, и именно от них пошла фамилия, которую мы разбираем.

Сам топоним Таргон происходит от польского слова targ, что значит «рынок» или «торговая площадь». То есть изначально Таргон — это место, где шла торговля, стояли ряды лавок и кипела жизнь. Фамилия, образованная от такого названия, указывает на человека, который был родом из этого города или владел там землёй.

Модель образования типична для польской ономастики: к основе Таргон- добавили суффикс -ский, который в польском языке (как и в русском) указывает на принадлежность к месту. Такой суффикс носили преимущественно шляхтичи, но не только: по мере распространения фамилий в XVII–XIX веках его могли принимать и мещане, и крестьяне, переселявшиеся из города в деревню или в другую местность. Поэтому Таргонский — это прежде всего «тот, кто из Таргона».

Интересная деталь: в русском языке фамилия сохранила польское написание с «г» в корне, хотя при адаптации могла бы превратиться в Таржонский или Тарговский. Но этого не случилось, и сегодня мы видим форму, которая почти без изменений перешла из польских метрик. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из восточных воеводств Польши — Мазовии или Подляшья, где торговые городки с такими названиями были не редкостью.

Встречаются и другие версии, например, связь с литовским или белорусским корнем, но они слабы: польский топоним объясняет и форму, и значение без натяжек. Так что смело держитесь за версию с «рынком» — она и самая простая, и самая правдоподобная.