Фамилия Татарой — редкий случай, когда географический вариант произношения закрепился в письменной форме. Скорее всего, перед нами нестандартное окончание творительного падежа, ставшее фамилией. В русских говорах, особенно северных и сибирских, фамилии на -ой (Толстой, Благой) произносили и писали как -ый, но могло быть и наоборот: фамилию, звучавшую как Татарый, записывали на слух как Татарой. Это окающий говор, где безударное «о» не редуцируется.

Основа здесь прозрачна — «татар». Но это не обязательно указывает на этническое происхождение. В XVI–XVII веках на Руси «татарином» могли прозвать любого смуглого, черноволосого или просто неспокойного, вспыльчивого человека. В документах той эпохи встречаются крестьяне и посадские люди с прозвищем Татарин, от которого и пошли фамилии Татаринов, Татаркин, Татарцев. Форма Татарой — более редкая, она могла возникнуть в среде, где фамилии только начинали оформляться, и прозвище отца (Татар) просто поставили в привычную местную форму.

Интересно, что суффикс -ой в этой фамилии не типичен для русских фамилий от этнонимов. Обычно мы видим -ов (Татаринов) или -ин (Татаркин). А здесь — адъективное окончание, как у прилагательного. Это сближает Татарой с фамилиями типа Толстой, Босой, Косой. Значит, предок носителя фамилии, скорее всего, был не «сыном Татара», а сам носил прозвище Татарой — то есть «татароподобный» или «похожий на татарина». Такая модель образования характерна для севернорусских территорий (Архангельская, Вологодская области) и для Сибири, куда эту модель принесли переселенцы.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современных базах данных она фиксируется единично, в основном в центральных регионах России и на Урале. Это говорит о том, что фамилия не разошлась по множеству ветвей, а осталась локальной, возможно, в пределах одного села или рода. Двойников у неё почти нет — ни Татаров, ни Татарых, что тоже указывает на уникальность словоформы.

Таким образом, Татарой — это не «татарская» фамилия, а русская по происхождению, образованная от прозвища в специфической северной или сибирской огласовке. Её носитель — потомок человека, которого в своей общине называли Татарым или Татарой за внешность или характер.