Фамилия Татарский в основе своей имеет прозвище Татар, и это сразу говорит о многом. В старину так могли назвать человека, чья национальность или внешность напоминала окружающим тюркский народ — татар, чьё самоназвание звучит как татарлар. Но прозвище не всегда указывало на происхождение: Татаром могли окликнуть и русского, который, скажем, носил одежду в восточном стиле, отличался смуглой кожей или перенял какие-то привычки, казавшиеся соседям «татарскими». Так что фамилия скорее отражает восприятие предка окружающими, чем его этническую принадлежность.

Обратите внимание на суффикс: форма Татарский, а не Татаров или Татарин, указывает на модель образования, типичную для фамилий, которые складывались в среде служилых людей и дворянства в XVI–XVII веках. Такие фамилии на -ский часто давали по названию владения или места, но здесь основа — прозвище, что делает эту модель чуть менее типичной. Впрочем, для выходцев из южнорусских и украинских земель, где -ский встречается чаще, это вполне естественный вариант. Потомок человека с прозвищем Татар, переезжая или оформляя документы, получал фамилию, которая буквально означала «принадлежащий Татару» или «из рода Татара».

География бытования фамилии широкая, что неудивительно: татары живут в Поволжье, Приуралье, Сибири, в центральных областях России, и контакты с ними были у многих народов. Поэтому фамилия Татарский встречается и в русских, и в украинских, и в белорусских записях, причём носители её не обязательно имеют татарские корни. В некоторых случаях фамилию могли дать и человеку, который долго жил среди татар, знал их язык или торговал с ними.

Сравните с однокоренными фамилиями: Татаринов, Татаринцев, Татаров — все они образованы от того же прозвища, но разными способами. Татарский стоит особняком из-за суффикса, который часто придаёт фамилии оттенок «более высокого» происхождения, хотя по сути перед нами та же история — прозвище, закрепившееся за родом. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать их в документах XVII–XVIII веков: именно тогда форма на -ский активно распространялась среди казачества и шляхты, а позже закрепилась и в других сословиях.