Фамилия Текунова происходит от личного прозвища Текун, которое в старину было распространено в разных слоях населения. Слово «текун» имело несколько значений, и каждое из них могло лечь в основу прозвища. Чаще всего текуном называли сыпучее вещество — песок, крупу или муку. Отсюда версия, что прозвище закрепилось за человеком, который занимался изготовлением муки, просеивал её или торговал крупами. В этом случае фамилия указывает на род занятий предка, что типично для русских фамилий, образованных от названий профессий.

Другая версия связывает прозвище с глаголом «течь», «текать» — в старину это значило «нестись, бежать, мчаться». Так могли прозвать быстрого, проворного человека, который всё делал стремительно, ни минуты не сидел на месте. Прозвища, данные по характеру или манере поведения, были очень распространены на Руси, поэтому эта гипотеза выглядит правдоподобной.

Менее вероятно, что прозвище Текун связано с топонимом — названиями селений Текун, Текуны или Текунь, которые встречаются в разных регионах. В этом случае предок Текуновых мог быть уроженцем одного из таких мест, и прозвище указывало бы на его происхождение. Но эта версия слабее: топонимические прозвища обычно образовывались с суффиксами -ский или -ской, а форма Текун больше похожа на прозвище по признаку.

Сама фамилия образована по классической русской модели: к основе Текун добавлен суффикс -ов, а окончание -а указывает на женскую форму. Изначально Текунов — это «сын Текуна» или «человек из рода Текуна». Такая модель была самой распространённой в России и закрепилась в качестве фамилии за потомками человека по прозвищу Текун.