Фамилия Телкин — редкий случай, когда разбор упирается в неоднозначную основу. Если сразу смотреть на суффикс, всё просто: -ин указывает на принадлежность, то есть Телкин — это «сын Телки» или «человек из рода Телки». А вот что такое «Телка» — вопрос.

Самая прямая версия ведёт к слову «тёлка», то есть молодая корова, ещё не телившаяся. В крестьянской среде прозвище Тёлка (или Телка, через «е» в безударном положении) могли дать по разным причинам: за спокойный нрав, за внешнее сходство или просто чтобы подчеркнуть связь с хозяйством. Фамилии от названий домашних животных — обычное дело (Быков, Козлов, Баранов), и Телкин стоит в этом же ряду. Правда, ударение здесь падает на первый слог, что для слова «тёлка» в диалектах нехарактерно — обычно говорят «тёлка», а не «телка». Но в фамилии ударение могло сместиться со временем.

Есть и другая, менее очевидная возможность. В некоторых говорах «телка» могло быть производным от имени Теля — сокращённой формы от Терентий через народное Телентий. В таком случае Телкин означало бы «сын Тели», а фамилия оказывалась бы отчеством от календарного имени. Эта версия слабее, потому что промежуточная форма «Теля» встречается редко, но полностью исключать её нельзя.

Географически фамилия Телкин не привязана к одной области — она разбросана по центральной России и Поволжью, что типично для прозвищных фамилий, возникших независимо в разных местах. Сословная принадлежность предков, скорее всего, крестьянская или мещанская: дворянские фамилии редко образовывались от названий скота.

Что интересно: у фамилии есть однокоренная, но совсем другая по происхождению — Телькин. Если Телкин идёт от «тёлки», то Телькин может быть связан с «телом» или с именем Тель (от Тельман), и путать их не стоит. В документах XVII–XVIII веков Телкины встречаются среди посадских людей и крестьян, но массово фамилия не распространилась.

Коротко: скорее всего, ваш предок получил прозвище Телка за что-то, связанное с коровой, — либо по занятию, либо по характеру. Альтернатива с именем Терентий возможна, но менее вероятна.