Фамилия Тенинская — редкий случай, когда географическое происхождение почти не вызывает споров, а вот личное имя или прозвище в основе — вопрос открытый. В отличие от распространённых фамилий на -ов/-ев, которые указывают на отца (чей сын?), форма на -ская типична для дворянских родов, но ещё чаще — для тех, кто получил фамилию по названию места, откуда был родом. Тенинская — типичная «географическая» фамилия: её образовали от названия населённого пункта с корнем Тенин- или Тен-.

Самый вероятный источник — деревня или усадьба Тенино (или Тенинское). Такие названия встречаются в центральной России, например в бывшей Московской или Тверской губерниях. Название села, в свою очередь, скорее всего, произошло от некалендарного личного имени или прозвища Теня. В древнерусской ономастике «Теня» могло быть уменьшительной формой от имён вроде Тентя, Теней или даже от крестильного Артемий (в народной форме Артём — Тёма, Теня). Но есть и другая версия: прозвище Теня давали медлительному или ленивому человеку (от диалектного глагола «тениться» — мешкать, тянуть время). В словаре В. И. Даля «теня» — это ещё и «лентяй, рохля», что делает эту гипотезу вполне правдоподобной для крестьянской среды.

Суффикс -ск- в фамилии указывает на принадлежность к местности: Тенинский — значит «выходец из Тенина» или «владелец усадьбы Тенино». В XVIII–XIX веках такие фамилии часто закреплялись за духовенством (семинарские фамилии, образованные от названий сёл) или за дворянами, которые брали фамилию по своему поместью. Тенинская — форма женского рода, но в современном употреблении она может принадлежать и мужчине (склоняется по правилам прилагательного: Иван Тенинский, Анна Тенинская).

Интересная деталь: фамилия Тенинская почти не встречается в южных и восточных регионах России. Её ареал — северо-запад и центр: Новгородская, Псковская, Тверская области. Это ещё раз подтверждает версию о происхождении от конкретного топонима, а не от случайного прозвища. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать на картах XIX века деревню Тенино — скорее всего, именно оттуда пошёл род.