Фамилия Терих — редкий пример фамилии, застывшей в форме родительного падежа множественного числа. В русской ономастике это так называемая «фамилия на -их». Такие фамилии (Терих, Черных, Седых) образовались не от имени конкретного человека, а от прозвища или характеристики целой семьи: «из дома Терих» — то есть из семьи, где главного звали или прозывали Теря, Терь или нечто похожее. Суффикс -их указывает на принадлежность к роду, и это одна из древнейших моделей русских фамилий, распространённая в северных и сибирских говорах, а также у старообрядцев.

Основа «Тер-» почти наверняка восходит к уменьшительной форме крестильного имени Терентий (от латинского Terentius — римское родовое имя). Терентия в быту звали Теря, Терюха, Терша — отсюда и прозвище главы семьи. В русских говорах слово «теря» также могло означать «растеряха», «небрежный человек», но для фамилии эта версия менее вероятна: прозвища с негативным оттенком редко становились основой для фамилий на -их, которые скорее фиксировали уважительное или нейтральное семейное именование.

Географически фамилия Терих встречается в основном в центральных областях России и на Урале, но нигде не образует плотных гнёзд. Это типичная «фамилия-одиночка», которая не разрослась в массовую. В документах XIX века её могли записывать и как Терихов — с наращением стандартного суффикса -ов, но форма Терих сохранилась именно в тех местах, где крестьян переписывали «по-домашнему», без приведения к общерусским образцам.

Сословная принадлежность предков, скорее всего, крестьянская или мещанская. Фамилии на -их редко встречались у дворянства и духовенства — их носила в основном сельская и посадская среда. Если ваши предки — Терихи, они могли быть государственными крестьянами или однодворцами южных уездов, где эта модель фамилий была особенно живучей.

О точных датах появления фамилии судить сложно: в переписных книгах XVI–XVII веков такие фамилии фиксировали непоследовательно. Можно лишь утверждать, что к началу XVIII века форма Терих уже существовала как устойчивое родовое прозвание.