Фамилия Терпячая с первого взгляда кажется прилагательным в женском роде, но в русской ономастике это типичная «матронимическая» фамилия, образованная от женского имени или прозвища. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев, которые указывают на отца, суффикс -яч- (в форме Терпяч-ая) встречается реже и часто связан с прозвищами, данными по характеру или поведению.

Основа фамилии — «терпяч-», от глагола «терпеть». Скорее всего, прозвище Терпячий (или Терпячая) дали человеку с исключительным терпением, выносливостью, возможно, тому, кто смиренно сносил тяготы или обиды. В диалектах слово «терпячий» могло означать «терпеливый», «долготерпеливый». Важно, что фамилия сохранила старую, нестяжённую форму прилагательного (Терпячая, а не Терпячая в современном произношении), что указывает на её северное или южнорусское происхождение — в этих регионах долго держались окончания -ая/-яя без редукции.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с церковнославянским именем Терпий (от греческого «терпеть»). В таком случае фамилия образована от женского варианта Терпия или Терпяча через суффикс -ин, но форма на -ая говорит скорее о прозвищном происхождении, чем о крестильном имени.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральных и южных областях России, единично — в украинских записях. В ревизских сказках XIX века носители фамилии Терпячие (с окончанием -ие, множественное число) фиксировались как государственные крестьяне и однодворцы, что подтверждает народное, а не дворянское происхождение.

В отличие от фамилий типа Терпигорев (от «терпи горе»), Терпячая не содержит императива, а описывает качество. Это редкий случай, когда фамилия напрямую характеризует человеческую добродетель, а не внешность или ремесло.