Фамилия Терсинских — один из тех случаев, когда окончание выдаёт географию и социальный слой с головой. Типичная «фамилия-прилагательное» во множественном числе, застывшая в родительном или предложном падеже: Терсинских. Такая модель (-их/-ых) характерна для северных и центральных областей России, особенно для бывших новгородских земель, Вятки, Урала и Сибири. В старину так отвечали на вопрос «чьи вы?» — «Мы Терсинских», то есть из дома, рода Терсинских. Это не дворянская фамилия (у тех чаще -ов и -ин), а крестьянская или мещанская, часто фиксировавшаяся в переписных книгах как целая семья или деревня.

Основа фамилии — топоним Терса или Терсино. В России есть несколько рек с названием Терса (притоки Волги, Дона и других рек), а также сёла Терсино в бывшей Вятской губернии и на Урале. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвище «Терсинский» — то есть «с Терсы». Со временем это прозвище закрепилось как фамилия, а в форме множественного числа — Терсинских — указывало на целый род или семью, жившую обособленно. Возможна и связь с рекой Терс (приток Томи), но там фамилия встречается реже.

Корень «терс» в гидронимике обычно объясняют из финно-угорских или тюркских языков. На коми-пермяцком «терс» может означать «быстрый, стремительный», на тюркских — «поперечный, упрямый». Вряд ли фамилия напрямую связана с характером предка — скорее, она вторична по отношению к названию реки или поселения. Прямых указаний на род занятий носителей нет: это не ремесленная и не служилая фамилия, а чисто «географическая», по месту выхода.

В дореволюционных источниках фамилия Терсинских встречается в основном среди государственных крестьян Вятской губернии и в списках переселенцев в Сибирь. Встречаются варианты написания: Терсинский, Терсинские, но форма на -их устойчива и говорит о том, что род не стремился к «облагороженному» окончанию на -ов. Сегодня фамилия редкая, её носители живут в основном в Кировской области, Пермском крае и на Урале. Если вы носите эту фамилию — ваши предки, скорее всего, были крестьянами, которые взяли фамилию по реке или деревне, где жили из поколения в поколение.