Фамилия Тинская — это женская форма фамилии Тинский. А вот корень у неё может быть разным, и это тот случай, когда без географии не разобраться.

Самый вероятный путь — топонимический. Фамилию могли дать человеку, который родом с берегов реки Тина. Такая река есть в Ярославской области, а ещё — в Красноярском крае. В этом случае фамилия образована по стандартной модели «река + -ский»: житель на Тине становился Тинским, его жена — Тинской. Суффикс -ский в русских фамилиях часто указывает на происхождение от географического названия, особенно у дворянства и духовенства, но встречался и у крестьян, переселившихся с одного места на другое.

Вторая версия — от прозвища или нецерковного имени Тина. В русских говорах «тина» — не только болотная зелень, но и, в переносном смысле, «вялый, медлительный человек» или «нечистоплотный». Однако эта гипотеза слабее: фамилии на -ский редко образуются напрямую от прозвищ, обычно для этого используют суффикс -ов или -ин. Если бы предка звали Тина, он стал бы Тининым, а не Тинским.

Стоит учесть и польский след. В польском языке основа «Tyn» означает «тын» (забор, частокол). Фамилия Tynski (Тиньский) встречается в Польше, и при переходе в русскую среду могла потерять мягкий знак. Тогда Тинская — это вариант полонизированной фамилии, которую носили выходцы с западных земель.

В любом случае, фамилия Тинская — нечастая. Встречается в Сибири и на Урале, куда в XVII–XVIII веках переселялись люди из центральной России. Если ваши предки оттуда, скорее всего, фамилия идёт от реки или от названия населённого пункта Тинский (такой хутор, например, был в Воронежской губернии).