Фамилия Титишова — редкий случай, когда основа, казалось бы, ясна, но разбор упирается в неоднозначность, знакомую каждому этимологу. Первое, что бросается в глаза: суффикс -ов- указывает на стандартную русскую патронимическую модель (чей? — Титишев), а вот финаль -шов- вместо -шев — аномалия. В нормативном варианте от имени Титиш (или Титиша) мы бы получили Титишев. Наличие -шов- заставляет предположить, что в основе лежала форма Титиш, а затем фамилию переделали под влиянием более частотных моделей на -ов (как Ивашов, Гришов), либо это диалектное произношение, где -шев перешло в -шов.

Самая прямая версия: прозвище Титиш образовано от древнерусского некалендарного имени или прозвища Тито, Титя. Уменьшительно-ласкательные формы вроде Титик, Титуш, Титиш были в ходу в крестьянской среде XV–XVII веков. Словарь Веселовского фиксирует имя Титя (Титев) как реальное, а форма Титиш — естественное производное с суффиксом -иш, характерным для прозвищ (ср. Малыш, Глупыш). В таком случае Титиш — человек, которого звали Титом, но в быту называли ласково или, напротив, с оттенком пренебрежения (суффикс -иш мог нести уничижительный оттенок).

Менее вероятная, но лингвистически возможная версия — от тюркского корня. В тюркских языках «титиш» означает «спорщик», «сварливый человек» (от глагола титиш- — ссориться). В южнорусских и казачьих областях, где был силён тюркский субстрат, такое прозвище могли дать неуживчивому, вздорному соседу. Однако против этой версии говорит то, что фамилия Титишовы не фиксируется в списках донских или кубанских казаков — она встречается в центральных и северных губерниях, где тюркские заимствования редки.

Географически фамилия Титишова (в мужском варианте Титишов) — редкость. В дореволюционных метриках она встречается в основном в Вологодской и Костромской губерниях, что подтверждает связь с русским диалектным миром, а не с южными степями. Сословно — почти исключительно крестьяне и мещане. Ни в дворянских родословных книгах, ни в списках купеческих гильдий Титишовы не значатся.

Итог: скорее всего, фамилия — от разговорной формы имени Тит. Носитель фамилии может считать себя потомком человека по прозвищу Титиш, что в XV веке звучало примерно как «Титик» или «Титушка».