Прямой ответ на главный вопрос: фамилия Толстунов образована от прозвища Толстун, которое в старину давали полному, дородному человеку. Потомки такого человека перенимали прозвище как семейное имя, и со временем оно закрепилось в форме притяжательного прилагательного с суффиксом -ов, отвечающего на вопрос «чей?» — «сын Толстуна».

Основа прозвища — прилагательное «толстый», которое в древнерусском языке имело более широкий спектр значений, чем сегодня. Оно могло означать не только «упитанный», но и «здоровый», «крепкий», «обильный». Поэтому прозвище Толстун не обязательно высмеивало лишний вес — оно могло подчеркивать силу, стать или даже зажиточность человека. В крестьянской среде, где недоедание было обычным делом, полнота часто воспринималась как признак достатка и здоровья, так что прозвище вряд ли было обидным.

Словообразовательная модель здесь простая и распространенная: основа Толстун- плюс патронимический суффикс -ов. Такой тип фамилий — самый массовый в русской ономастике: он указывает на отца или главу рода. Аналогичным образом возникли фамилии Худяков (от Худяк), Молчунов (от Молчун), Крикунов (от Крикун). Все они — бывшие отчества, которые со временем потеряли связь с конкретным человеком и стали родовыми именами.

Интересно, что прозвища на -ун в русском языке часто имели оттенок насмешки или иронии, но при этом были очень живучими. Они образовывались от глаголов или прилагательных и обозначали человека по характерному действию или качеству: Болтун, Ворчун, Говорун. Толстун стоит в этом ряду особняком, потому что его основа — не действие, а внешний признак, что делает фамилию более «портретной», описательной.

Самому прозвищу Толстун не меньше пятисот лет: такие имена фиксируются в новгородских и псковских берестяных грамотах, а также в писцовых книгах XV–XVI веков. Однако фамилия Толстунов в ее нынешнем виде оформилась позже, в XVII–XVIII веках, когда у русских крестьян и посадских людей начали массово появляться наследственные фамилии. До этого человека могли называть просто Толстун Иванов сын, и лишь потом это превратилось в Толстунов.

Встречается и вариант написания с одной буквой «с» — Толунов, но он редок и, скорее всего, возник из-за ошибки писаря или упрощения произношения. Основной же вариант — Толстунов — сохранил исходную основу без изменений, что помогает легко восстановить его этимологию даже без специальных знаний.

Отдельного внимания заслуживает родственная фамилия Толстой, которая имеет ту же корневую основу, но образована по другой модели — от полной формы прилагательного. Толстуновы же, в отличие от графского рода Толстых, почти наверняка происходят из крестьянской или посадской среды, где прозвища были более простыми и прямыми. В этом смысле фамилия — маленький социальный маркер: она говорит о происхождении из народа, а не из аристократии.