Фамилия Трепашко напрямую связана с прозвищем, которое давали в старину человеку, чьё поведение или занятия описывались глаголом «трепать». В основе лежит именно эта народная, живая лексика, а не книжное слово. Чаще всего Трепашкой называли того, кто «треплет языком» — то есть пустослова, болтуна или любителя посплетничать. Однако у прозвища был и другой, более практичный смысл: так могли сказать о работнике, который треплет лён или шерсть, готовя сырьё для пряжи. Это был тяжёлый физический труд, и человека, занятого им, тоже могли окрестить по его ремеслу.

Сама форма фамилии указывает на украинское или белорусское происхождение. Суффикс -ко характерен для этих земель, где он превращал прозвище в ласкательное или уменьшительное имя. Таким образом, Трепашко — это буквально «сын Трепаша» или просто «маленький Трепаш», где основа «Трепаш» — всё то же прозвище от глагола «трепать». Модель образования типична для восточнославянских фамилий, но именно с таким суффиксом она встречается реже, чем привычные для великорусских территорий формы на -ов или -ин.

Стоит различать два возможных пути возникновения фамилии. Первый — от личного прозвища, которое закрепилось за человеком из-за его характера или профессии. Второй — от имени отца, где Трепашко выступает как патроним. В обоих случаях смысл сохраняется: фамилия не дворянская и не книжная, она вышла из народной среды, из крестьянского или ремесленного быта. В письменных источниках такие фамилии фиксировались поздно, в основном начиная с XVII–XVIII веков, когда за слободами и деревнями Украины и Беларуси закреплялись устойчивые семейные прозвания.

Спор о том, какое значение первично — «болтун» или «трепальщик льна», — вряд ли разрешится однозначно. Ономасты, работающие с прозвищами, обычно склоняются к тому, что отрицательная характеристика человека запоминалась ярче и чаще становилась основой для прозвища. Поэтому версия о болтуне выглядит правдоподобнее. Но исключать ремесленный след нельзя: в местностях, где выращивали лён, прозвище Трепаш могло возникнуть независимо от характера его носителя. Для носителей фамилии это означает, что предки жили либо на территории современной Украины, либо в южных районах Беларуси, где подобные формы имён были обычным делом.