Фамилия Трепашова — женская форма, а в основе лежит мужская фамилия Трепашов. Если коротко: её корень — глагол «трепать», но не в современном бытовом смысле (драть, рвать), а в старом, профессиональном. Чтобы разобраться, стоит посмотреть на словообразовательную модель: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?» — сын Трепаша). А вот что такое «Трепаш» — вопрос ключевой.

Самая прямая версия: Трепаш — это прозвище человека, который занимался трепанием. В русских говорах «трепать» значило очищать волокно (лён, коноплю) от костры — жёсткой сердцевины стебля. Трепальщик, или трепач, — ремесленник, работавший в крестьянском хозяйстве или на мануфактуре. Прозвище могли дать и тому, кто просто болтал без умолку (в диалектах «трепаться» — говорить пустое), но для фамилии, скорее всего, первичен ремесленный смысл: прозвища по занятию давали чаще, чем по характеру, и они легче закреплялись.

Суффикс -аш в основе (Трепаш) — характерная деталь. В русской антропонимии такие формы встречаются реже, чем простые Трепов или Трепалов. -аш придаёт прозвищу оттенок просторечия, иногда пренебрежения, но чаще — просто указывает на активного деятеля (ср. «мастак», «торгаш»). То есть Трепаш — это «тот, кто треплет», деятель по глаголу.

Географически фамилия не массовая, но встречается в центральных и северных областях России — там, где традиционно выращивали лён. Вологодчина, Костромская, Ярославская губернии — возможная родина носителей. В этих краях трепание льна было обычным делом, и прозвище могло возникнуть независимо в разных сёлах.

Есть и альтернативная, но менее вероятная версия: от канонического имени Трифон через уменьшительную форму Трепа. В народе Трифона могли звать Трепа, Трепаш — с перестановкой звуков и упрощением. Однако убедительных лингвистических подтверждений этой связи нет: в ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) фамилии на -аш обычно связывают с прозвищами, а не с церковными именами. К тому же от Трифона остались фамилии Трифонов, Трефилов — они куда распространённее.

Итак, предок современной Трепашовой с высокой долей вероятности был человеком, чья работа была связана с обработкой льна или конопли — трепал волокно, готовил его для пряжи. Фамилия — не дворянская и не купеческая, а крестьянская или ремесленная, что типично для фамилий на -ов в северных и центральных губерниях.