Фамилия Цынкина — женская форма фамилии Цынкин, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ин — одна из самых распространённых в русской ономастике: она указывает на принадлежность («чей?»), то есть Цынкин — это «сын Цынки» или «человек из рода Цынки». В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от имён и прозвищ на твёрдый согласный, -ин характерен для основ на -а/-я, что сразу подсказывает: в основе лежит слово или прозвище, оканчивающееся на «а».

Корень «цынк» — редкий и неочевидный. Самое прямое предположение — связь с химическим элементом цинком. Однако в русском языке слово «цинк» закрепилось в значении металла лишь в XVIII–XIX веках, а фамилии с таким корнем могли появиться раньше. Правдоподобнее версия, что «Цынка» — это прозвище, образованное от диалектного глагола «цынкать» (звенеть, брякать, издавать резкий звук). В говорах так могли назвать человека с громким голосом, болтливого или того, кто работал с металлом (например, лудильщика или жестянщика — от характерного звона). В пользу этой гипотезы говорит и то, что фамилии от звукоподражательных корней встречаются в русской традиции (сравните Цокин, Цвиркин).

Есть и менее вероятная, но возможная версия: связь с тюркским словом «сын» или «цын» (памятник, могильный камень). В этом случае прозвище могли дать человеку сурового вида или связанному с погребальными обрядами. Однако для центральной России, где фамилия Цынкина встречается чаще всего (Московская, Тверская, Ярославская области), тюркское происхождение менее характерно, чем славянское звукоподражание.

Географически фамилия редкая, не входит в сотни самых распространённых. В дореволюционных источниках Цынкины фиксируются в основном среди крестьян и мещан — сословная принадлежность типичная для фамилий на -ин, образованных от прозвищ, а не от крестильных имён. Интересно, что написание через «ы» (Цынкин, а не Цинкин) — более архаичное, оно сохраняет следы старого произношения, когда после «ц» звук «и» переходил в «ы» (как в слове «цыган»). В советское время часть носителей могла сменить букву на «и» из-за унификации орфографии, но вариант с «ы» остался в некоторых ветвях рода.

Итог: Цынкина — фамилия, скорее всего, от прозвища по характерному звуку или занятию. Её носители — потомки ремесленников или просто людей с яркой речевой особенностью, а редкое написание с «ы» подчёркивает, что фамилия не «книжная», а народная, сложившаяся в живой речи.