Фамилию Турбаева стоит разбирать, отталкиваясь от её основы — «Турбай». Это редкая для славянского уха конструкция, которая сразу указывает на тюркское происхождение. В языках тюркской группы (татарском, башкирском, казахском) слово «тур» означает «стой», «остановись», а «бай» — «богатый», «господин», «хозяин». Сложившись, эти части дают прозвище-пожелание или прозвище-характеристику: «будь богатым и стойким», «остановившийся богач» или даже «стой, богатый» (как окрик, закрепившийся за человеком). Похожий принцип словообразования встречается в фамилиях Турсунбаев (от «турсун» — «пусть стоит») или Алтынбаев.

Суффикс «-ев» в окончании указывает на русскую модель оформления фамилий: так называемые «патронимические» фамилии на -ов/-ев образовывались от имён и прозвищ, оканчивающихся на согласный или -й. В данном случае основа «Турбай» дала форму «Турбаев», а женская версия «Турбаева» — это грамматически правильное производное. Носительница фамилии — потомок человека, которого в старину звали Турбай.

Географически фамилия Турбаева распространена в Поволжье, на Урале и в Западной Сибири — в регионах, где исторически жили татары, башкиры и другие тюркские народы, впоследствии перешедшие в православие или сохранившие ислам. В русских документах XVII–XIX веков такие фамилии часто фиксировались у служилых людей, крестьян и торговцев, которые носили тюркские прозвища. Встречается она и у казахов, но там окончание чаще оформляется как «-ова» или «-улы», поэтому русская форма «Турбаева» характерна именно для татарской или башкирской среды, ассимилированной в русскую культуру.

Спорных версий у фамилии немного. Иногда основу «Турбай» пытаются связать с древнерусским глаголом «турбать» (беспокоить, тревожить), но это натяжка: такого слова в русском языке не зафиксировано, а корень «турб-» в значении «суета» — позднее заимствование из немецкого или французского. Тюркская версия надёжнее, подтверждена массой аналогичных фамилий и структурой имени. Если ваши предки носили фамилию Турбаева, скорее всего, они происходят из среды поволжских татар или башкир, а родоначальником был человек с прозвищем Турбай — возможно, зажиточный, упёртый или получивший такое имя при рождении как оберег.