Фамилия Тюгашова — женская форма фамилии Тюгашов, и её разбор стоит начать с вопроса, который сразу возникает: что за основа Тюгаш-? Это не очевидное имя или профессия, а именно тот случай, когда корень уходит в диалектную лексику или личное прозвище, записанное на слух.

Самый вероятный источник — древнерусское нецерковное имя Тюгаш (или Тюгас). Такие имена были распространены в XV–XVII веках и часто образовывались от глаголов или звукоподражаний. В данном случае основа может быть связана с диалектным глаголом «тюгать» — в некоторых говорах это означало «тянуть», «тащить» или «медленно делать». Человек с прозвищем Тюгаш мог получить его за медлительность, занудство или, наоборот, за упрямство — как «тянульщик», который не отступает. Менее вероятна, но возможна связь с тюркскими корнями: в татарском и башкирском языках есть слово «төяш» — «опора», «поддержка», что могло перейти в прозвище у русских, живших по соседству с тюркскими народами.

Формант -ов- типичен для русских фамилий: он указывает на принадлежность («чей?»). Тюгашов — буквально «сын Тюгаша» или «из семьи Тюгаша». Суффикс -ш- в основе (Тюгаш, а не Тюга) характерен для уменьшительно-ласкательных или пренебрежительных форм имён: ср. Тимош (от Тимофей), Иваш (от Иван). Значит, исходное имя Тюгаш — это сокращённая форма от какого-то полного имени, скорее всего, от Тюга, которое, в свою очередь, могло быть вариантом канонического имени Феодот (в народном произношении — Федот, Федотя, Тюдя, Тюга). Такая цепочка не редкость: сложные звуковые переходы в русских говорах превращали «Ф» в «Т» (тюрьма от нем. Turm, но имена: Фёдор — Тюдор, Феодот — Тюхтя, Тюга).

Географически фамилия Тюгашов (и Тюгашова) встречается в основном в Поволжье — в Нижегородской, Кировской областях, а также в Удмуртии и Марий Эл. Это регионы, где исторически смешивались русские и финно-угорские (марийские, удмуртские) говоры, что могло повлиять на звучание прозвища. Социально фамилия не аристократическая: носители имени Тюгаш в XVI–XVII веках были, скорее всего, крестьянами или посадскими людьми, а не боярами. В писцовых книгах и переписях такие фамилии фиксировались поздно, часто только в XVIII–XIX веках, когда крестьян начали массово записывать по отчеству.

Итог: Тюгашова — фамилия, образованная от прозвища или уменьшительного имени Тюгаш, которое либо описывало характер человека (медлительный, упрямый), либо восходит к крестильному имени Феодот через народную переделку. Точную версию назвать сложно, но связь с диалектным «тюгать» выглядит убедительнее, чем тюркская гипотеза, из-за географического распространения фамилии в русскоязычных регионах с финно-угорским субстратом.