Фамилия Варивоцкая — редкий пример, когда основа не лежит на поверхности и не даёт однозначного толкования. С первого взгляда в ней слышится глагол «варить» или существительное «вар» (кипяток, смола, а в старину — и налог на варку пива и мёда). Однако суффикс -ицк- указывает на географическое происхождение: такие фамилии обычно образовывались от названия населённого пункта. Скорее всего, предок носительницы фамилии был выходцем из места под названием Варивцы, Варивка или Варивоцы. Подобные топонимы встречаются в западных и юго-западных регионах бывшей Речи Посполитой — на территории современной Украины, Беларуси или Польши. Допустим, в основе лежит название речки Вар (от индоевропейского корня со значением «вода», «течь») или личное прозвище Вар (от «вар» в значении «зной», «жар» — так могли назвать горячего, вспыльчивого человека). Тогда житель такого места получал прозвание «варивецкий», а его жена или дочь — Варивоцкая.

Мужской вариант фамилии — Варивоцкий. Окончание -ая типично для русской женской формы, но сама фамилия по происхождению, скорее всего, польская или украинская. В польской ономастике фамилии на -цкий (-cki) — одна из самых распространённых моделей, указывающая на принадлежность к шляхетскому сословию или просто на связь с местностью. Однако не стоит думать, что все носители такой фамилии были дворянами: к XVIII–XIX векам этот суффикс широко разошёлся среди крестьян и мещан, особенно после разделов Польши, когда фамилии давали массово по названию деревни.

Есть и более прозаичная, но менее вероятная версия: от прозвища Варивода — «тот, кто варит (кипятит) воду». В украинских говорах «варивода» могло быть шутливым прозвищем повара или человека, который медлит, «варится» с делом. Тогда фамилия могла сократиться до Варивоцкий через переосмысление суффикса. Но эта гипотеза слабее, потому что в украинской традиции фамилии от прозвищ чаще оформлялись суффиксами -енко, -ук, а не -цкий.

Итог: фамилия Варивоцкая — топонимическая, указывает на корни из западных или юго-западных земель. Точное место, давшее название, сегодня установить сложно, но ясно, что предки были связаны с конкретным селом или хутором Варивцы. Фамилия нечастая, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: если вы знаете регион, откуда родом семья, можно попробовать найти на старых картах соответствующий топоним.