Фамилия Варивоцкий — редкая и с неочевидной этимологией. Если вы её носитель, скорее всего, ваши предки происходят с территории современной Беларуси, Украины или восточной Польши. На это указывает типичный для этих земель суффикс -цкий (в польском варианте -cki). Такие фамилии обычно образовывались от названий местности: села, усадьбы или хутора.

Корень Вариво- — самый спорный элемент. Первая и самая правдоподобная версия: это искажённое название населённого пункта. На карте Беларуси есть деревня Варево (в Гродненской области) и несколько деревень с похожими названиями — Варева, Варово. Фамилию могли дать человеку, который оттуда переехал: «Варивоцкий» — «тот, кто из Варева». Звук «е» в корне мог перейти в «и» под влиянием акающего произношения или польской орфографии.

Вторая версия, менее вероятная, связывает фамилию с прозвищем. В древнерусском языке «варево» — это варёная пища, похлёбка. Прозвище Варево мог получить повар, любитель поесть или человек, занимавшийся варкой соли или дёгтя. Однако фамилии на -цкий редко образуются от бытовых прозвищ — для них типичнее суффиксы -ов/-ев или -ин. Поэтому версия с географическим названием выглядит весомее.

С точки зрения социального статуса, носители фамилий на -цкий в Речи Посполитой (куда входили белорусские и украинские земли) часто относились к мелкой шляхте — служилому или землевладельческому сословию. Необязательно богатому, но имевшему герб и привилегии. Варивоцкие могли быть именно такой «застенковой» шляхтой, владевшей небольшим хутором Варево. Впрочем, не исключено, что фамилия возникла и у крестьян, переселившихся из одноимённой деревни в другое поместье.

В современной России фамилия встречается крайне редко, в основном в центральных областях и на юге — это следствие переселений конца XIX — начала XX века. Если хотите узнать точнее, ищите предков в метрических книгах Гродненской, Минской или Волынской губерний — там корень «вар-» в названиях сел встречается чаще всего.