Фамилия Варнавицкая — женская форма фамилии Варнавицкий. Её основа — топоним, а не имя или прозвище. В русской ономастике фамилии, оканчивающиеся на -ский/-цкий, чаще всего указывают на географическое происхождение человека: владение землёй, место рождения или прежнего жительства.

Корень здесь — Варнав- (от Варнава). Варнава — это древнееврейское имя, означающее «сын утешения» или «сын пророка»; в христианской традиции его носил апостол от семидесяти, спутник Павла. Но сама фамилия напрямую не от имени, а от названия населённого пункта, которое от этого имени образовано. Самый вероятный источник — город Варнавин в Нижегородской губернии (ныне посёлок Варнавино). Основан он в XVII веке как монастырская слобода при Варнавинском монастыре, названном в честь преподобного Варнавы Ветлужского. Житель этого города или выходец оттуда получал прозвание «Варнавицкий» — то есть «из Варнавина». Суффикс -ицк- характерен для фамилий, образованных от названий на -ин (сравните: Ростов — Ростовский, но от Ильин — Ильинский, от Варнавин — Варнавицкий).

Менее вероятно, но возможно, что фамилия могла возникнуть от названия другого села с тем же корнем, например, от Варнавичи (такие деревни встречаются в Белоруссии и на Украине). В таком случае модель образования та же: суффикс -ицк- указывает на принадлежность к местности.

Таким образом, носительница фамилии Варнавицкая — потомок человека, который либо родился в городе Варнавине (ныне Нижегородская область), либо владел там землёй, либо происходил из одноимённого села в западнорусских землях. Фамилия довольно редкая, и её география в основном совпадает с зоной расселения выходцев из северо-восточных уездов России.